Ondas que nos Rodean: Cuerdas Vibrantes

La Física del Cuatro

Nuestro Cuatro criollo venezolano está constituido por cuatro cuerdas de igual longitud y diferentes diámetros, montadas en un largo diapasón que termina en un clavijero cuya función es tensarlas según la nota emitida, y que se extienden desde el puente hasta la cejuela por encima de una serie de divisiones conocidas como trastes. Además tiene una caja de resonancia con embocadura en la tapa superior. Las cuerdas se afinan a una nota fija como se indica en la tabla de abajo, que pulsadas de arriba abajo emite el conocido “cam bur pin tón”. La longitud de las cuerdas se varía, presionándolas con los dedos en los trastes durante la ejecución de melodías.

Notas del Cuatro.

El siguiente applet simula el audio de las notas musicales del cuatro criollo cuando se tocan las cuerdas libremente sin presionarlas en los trastes. Para escuchar el sonido pulse cada botón con el cursor.

Disponible en: https://www.geogebra.org/m/yDY8Z8VJ

La armonía musical se encuentra implícitamente establecida en todos los objetos cuando vibran, como es el caso del Cuatro criollo. Cuando una cuerda, una membrana, o una columna de aire de un instrumento musical se sacan del equilibrio mecánico mediante una perturbación (pulsándola o golpeándola), se pone a vibrar y se generan ondas que se propagan hasta sus fronteras (extremos, bordes, etc.), donde luego se reflejan. De esta forma se podrían generar ondas estacionarias si las condiciones de frontera (extremos, bordes, etc.), las dimensiones (longitud, superficie, etc.) y las tensiones (fuerzas) son las adecuadas.

Tales ondas estacionarias se producen por la superposición (interferencia) de la ondas generadas con las reflejadas y se caracterizan porque existen puntos (líneas, o zonas) específicos del sistema que no vibran (interferencia completamente destructiva) y puntos (líneas, o zonas) que vibran con un máximo desplazamiento desde su posición de equilibrio (interferencia completamente constructiva).

Ondas estacionarias en las cuerdas del cuatro.

En el siguiente video se puede apreciar el modo fundamental de vibración de una cuerda y dos de sus armónicos.

En el caso de un cuatro bien afinado, al pulsar una de sus cuerdas, ésta se pone a vibrar de diferentes maneras o modos. A cada modo le corresponde una frecuencia particular de oscilación. En condiciones normales, una cuerda fija por los extremos, como las de los instrumentos musicales, vibra con una frecuencia que corresponde al modo fundamental. Este modo de vibración es el que tiene menor frecuencia (f₁). Los demás se conocen como armónicos y son de frecuencias con valores múltiplos enteros del fundamental (2f₁, 3f₁, 4f₁ , 5f₁, etc.), como se puede apreciar en la figura de abajo. En la parte superior de la figura se visualiza un registro de la frecuencia fundamental de 220 Hz de la nota La₃ de la primera cuerda del cuatro y tres de sus armónicos con frecuencias de 440, 660 y 880 Hz; y en la parte inferior de la misma, se muestra la forma de la onda para las notas emitidas por las cuerdas. Se puede apreciar que la forma de la onda en cada caso no corresponde a una onda senoidal pura, ya que cada señal es la superposición de todos los armónicos sobre el modo fundamental de vibración. Por ejemplo, para la primera cuerda (en la parte superior), las señales correspondientes a los armónicos de frecuencias 440, 660, 880... Hz se suman (superponen) a la señal con frecuencia fundamental 220 Hz, resultando la gráfica que se muestra. En consecuencia, cuando se pulsa la cuerda de un cuatro, ésta vibra simultáneamente con todos los modos posibles. Tal comportamiento, en parte, hace que las cuerdas del cuatro emitan sonidos con un timbre característico, que lo diferencia del sonido (nota) generado por cualquier otro instrumento musical. En realidad, la sonoridad de una nota emitida por el cuatro depende también de la forma geométrica de su caja de resonancia y del tipo de madera usado, sin contar la técnica empleada en su construcción.

Registro de los modos de vibración de una cuerda de cuatro.

De arriba hacia abajo, forma de onda del modo fundamental de vibración de las cuerdas del Cuatro para las notas LA, RE, FA# y SI, con sus correspondientes armónicos superpuestos. Se utilizó una interfaz marca Pasco para obtener el registro.

La expresión analítica que recoge la regularidad anterior es:

donde n toma los valores 1, 2, 3,… En esta ecuación, L es la longitud de la cuerda, T la fuerza de tensión que la mantiene estirada y μ la masa por unidad de longitud, la cual indica como se encuentra repartida la masa en toda su extensión. Por consiguiente, cuando se aumenta la tensión de la cuerda con las clavijas, se incrementa la frecuencia del sonido; el sonido se hace cada vez más agudo; en cambio, al aumentar la masa de las cuerdas, disminuye la frecuencia.

Por otra parte, al disminuir la longitud de las cuerda con las pisadas de los trastes, aumenta la frecuencia del sonido emitido. En el siguiente applet se puede simular el sonido generado por la primera cuerda del cuatro (La3) cuando se pulsa libremente. A medida que se pisa esta cuerda, desde el traste 1 hasta el traste 14, el tono (frecuencia) del sonido se va incrementado, ya que de esta forma se disminuye la longitud de la cuerda. Se muestran las notas musicales correspondientes con cada pisada de los trastes.

Disponible en: https://www.geogebra.org/m/RRhWEcjg

Así, de dos cuerdas del mismo material con las mismas tensiones y longitudes, vibrará con mayor frecuencia la más delgada, por tener menor masa por unidad de longitud. Por otra parte, de dos cuerdas idénticas en masa y longitud, vibrará con mayor frecuencia la que se someta a mayor tensión.

Con el siguiente applet se puede estudiar el comportamiento de la cuerda vibrante de longitud L, densidad μ y sometida a una tensión T.

Disponible en: http://geogebratube.org/student/m97611

Active el applet con el botón de Inicio para que el tiempo transcurra. Mantenga fijo los valores de la tensión (T = 0,01) y densidad lineal (μ = 0,5). Coloque el cursor sobre el Deslizador N (nodal) y presiónelo. Luego, con el botón "flecha derecha" del tablero cambie su valor desde 0, pasando por 1, 2, 3, 4 y 5. Escuchará el sonido correspondiente a cada modo de vibración. En caso de que no se active el sonido vaya, por favor, a http://geogebratube.org/student/m63336 (¡Necesita descargar previamente JAVA en la computadora que esté usando!). El sonido del modo fundamental es de 200 Hz, el del primer armónico es de 400 Hz, y así sucesivamente. La frecuencia del sonido no se corresponde con la frecuencia de vibración de la cuerda; es sólo una estrategia pedagógica utilizada para facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje de este tema particular. Elija luego N = 1 para activar el modo fundamental de vibración. Aumente la tensión de la cuerda con el deslizador T y observe cómo la cuerda incrementa su frecuencia de vibración. Recuerde la fórmula anterior para fn. Por último, varíe la densidad lineal y observe cómo influye ésta en la frecuencia. A continuación se puede activar el siguiente audio con la secuencia de sonidos (notas) emitidos por la primera cuerda a medida que se disminuye su longitud, cuando se pulsa con el dedo desde el primero hasta el último traste. Note cómo el sonido varía de grave a agudo, cada vez que se disminuye la longitud de la cuerda; es decir, al disminuir la longitud se incrementa la frecuencia del sonido emitido.

Frecuencia f en función de la longitud L para las cuatro cuerdas del Cuatro. Arriba a la derecha se identifican las notas de cada cuerda.

En la figura anteror se muestra la frecuencia f en función de la longitud L de las cuatro cuerdas de un Cuatro de regular calidad. Los círculos de color corresponden a los valores medidos en el laboratorio y las líneas curvas, las gráficas de la ecuación anterior. Se puede notar que existe una buena correspondencia entre el modelo teórico y los valores experimentales.

Por consiguiente, cuando las cuerdas del cuatro vibran, se excita los modos fundamentales y todo el conjunto de armónicos, cuyas frecuencias son múltiplos enteros del correspondiente primer modo, como se mencionó en la primera parte de este artículo. Tales vibraciones provocan compresiones y expansiones del aire que viajan con la velocidad del sonido y llegan a nuestros oídos o sensores (mecánicos, electrónicos, etc.). Además, las vibraciones de las cuerdas son transmitidas a toda la estructura de madera del cuatro, así como al aire contenido en el interior de la caja de resonancia. Esta caja tiene forma ovalada con una estrecha cintura a la mitad que la divide en dos cavidades intercomunicadas con diferentes volúmenes. A través de la abertura que posee, las vibraciones de las cuerdas excitan los diferentes modos de vibración del aire contenido en su interior y el sonido incrementa su intensidad (ver Física Interdisciplinaria: Las Ondas para una descripción más completa de estos procesos); se dice entonces que el aire de la cavidad resuena con las vibraciones de las cuerdas. Así, en primera aproximación, las notas graves (menor frecuencia) excitan el volumen de aire contenido en la cavidad mayor y las agudas (mayor frecuencia), al aire de la cavidad pequeña; aunque, en realidad la cosa es más complicada.

A continuación se muestra un registro digital de las ondas sonoras emitidas por cada nota, realizado con Adobe Audition. En el siguiente video se observa, en compacto, cada nota; la forma observada es producto de la superposición de los armónicos sobre la nota fundamental. Con el transcurrir del tiempo la intensidad de cada nota va disminuyendo por efecto del amortiguamiento de la vibraciones de las cuerdas.

En el segundo video se muestra el registro anterior extendido. Se puede visualizar la característica senoidal de las ondas sonoras.

Separación de los traste

Como es bien conocido, la distancia de separación entre dos trastes consecutivos disminuye desde el clavijero hacia el orificio de la caja de resonancia; el primer par de trastes del extremo superior del diapasón está más separado y el último par de su extremo interior, está más pegado.

Los luthieres tienen la habilidad y el conocimiento artesanal para colocar los trastes sobre el diapasón del Cuatro criollo que fabrican con admirable precisión; los físicos manejan modelos matemáticos sencillos para establecer la posición de cada traste. Para un estudio completo de las vibraciones de las cuerdas tendríamos que partir de las leyes de Newton, aplicarlas a un caso particular como la cuerda en vibración y formular la ecuación de ondas con su respectiva solución; extremos fijos, son las denominadas condiciones de frontera para la cuerda, en este caso. A partir de aquí se deduce que la relación entre la frecuencia de vibración de la cuerda, su tensión T y su masa por unidad de longitud μ, es la obtenida en la primera parte de La física del Cuatro (para ahondar en el tema se sugiere revisar Física Interdisciplinaria: Las Ondas en este Blog). Cuando la cuerda al aire (sin ser pisada) está afinada a la nota musical que le corresponde, mantiene constante su tensión y masa; a medida que se pisan los trastes, se disminuye su longitud. Luego podemos afirmar para la cuerda libre, que

donde c es una constante que depende de la tensión y la masa. La misma cuerda pisada en el primer traste tiene la longitud L₁ y vibra con la frecuencia f₁ = c/L₁ cuando se pulsa; pisada en el segundo traste tiene la longitud L₂ y vibra con la frecuencia f₂ = c/L₂, y así sucesivamente hasta el último traste.

En consecuencia, al relacionar entre sí las longitudes L₁ y L₀, se obtiene que

y como,

(ver La Escala Musical y su Origen en este Blog), luego

Es decir, la cuerda pisada en el primer traste tiene una longitud que es 0,9439 veces la longitud L₀de la cuerda al aire. En consecuencia, la cuerda disminuyó su longitud en

En el caso de un Cuatro típico de 14 trastes, las cuerdas tienen una longitud de 559 mm; así que, la longitud L₁de la cuerda es de 527,6 mm y ΔL₀₁ = 31,4 mm. Este último valor es la separación entre la cejuela y el primer traste.

Al repetir el procedimiento anterior, se encuentra que la cuerda pisada en el segundo traste tiene una longitud de

y la separación entre el primero y segundo traste es

Al pisar el segundo traste la cuerda tiene una longitud de 498 mm y la separación entre el primer y segundo traste es ΔL₁₂ = 29,6 mm.

En general, la longitud de la cuerda para el n-ésimo traste, medida desde el puente, es

y la separación entre cualquier par de trastes consecutivos es

donde n = 0,1,2,3,.. De esta ecuación se puede ver que la separación entre los trastes es una función exponencial, y en consecuencia su separación varia a lo largo del diapasón; si la dependencia fuera lineal, la separación sería constante, pero este no es el caso.

El siguiente applet permite calcular las longitudes ΔL de los trastes en función de su posición en el diapasón para una longitud Lo. Observe cómo ΔL disminuye desde el primer traste al número 14.

Disponible en: https://www.geogebra.org/m/XCSuWt2k

A continuación se calcula la frecuencia de la nota musical emitida por la cuerda La₃ (A₃) cuando se pulsa, haciendo presión en cada uno de los trastes. La cuerda al aire (libre), emite la nota La₃ cuando está afinado. La frecuencia de esta nota es 220 Hz (vibraciones por segundo). Al pisarla en el primer traste, su longitud disminuye y en consecuencia la frecuencia aumenta en un factor de 2^1/12 = 1,0595; por consiguiente, la frecuencia es 220 x 1,0595 Hz = 233,08 Hz, valor que coincide con la nota La_3#; si 233,08 se vuelve a multiplicar por 2^1/12 se obtiene 246,94 Hz, frecuencia de la nota Si₃. Repitiendo este procedimiento se logra identificar la secuencia de notas para todos los trastes, como se muestra en la siguiente tabla. También se puede apreciar en la misma, la identificación de las notas correspondiente a cada traste para las demás cuerdas.

Tabla: Notas de las cuerdas

TRASTE	LONGITUD (mm)	Primera cuerda		Segunda cuerda	Tercera cuerda	Cuarta cuerda
TRASTE	LONGITUD (mm)	f (Hz)	Nota	Segunda cuerda	Tercera cuerda	Cuarta cuerda
0	559,0	220,00	La₃	Re₄	Fa_#4	Si₃
1	527,6	233,08	La_#3	Mi₄	Sol₄	Do₄
2	498,0	246,94	Si₃	Fa₄	Sol_#4	Do_#4
3	470,1	261,63	Do₄	Fa_#4	La₄	Re₄
4	433,7	277,16	Do_#4	Sol₄	La_#4	Re_#4
5	418,8	293,66	Re₄	Sol_#4	Si₄	Mi₄
6	395,3	311,13	Re_#4	La₄	Do₅	Fa₄
7	373,1	329,63	Mi₄	La_#4	Do_#5	Fa_#4
8	352,1	346,23	Fa₄	Si₄	Re₅	Sol₄
9	332,4	369,99	Fa_#4	Do₅	Re_#5	Sol_#4
10	313,7	392,00	Sol₄	Do_#5	Mi₅	La₄
11	296,1	415,30	Sol_#4	Re₅	Fa₅	La_#4
12	279,5	440,00	La₄	Re_#5	Fa_#5	Si₄
13	263,8	466,16	La_#4	Mi₅	Sol₅	Do₅
14	249,0	493,88	Si₄	Fa₅	Sol_#5	Do_#5

En la figura de abajo se identifica la nota musical producida por la primera cuerda (La3) cuando se pulsa en cada traste. Las de color amarillo son los sostenidos correspondientes a cada nota.

ACTIVIDADES:

1. Mida la longitud de las cuerdas de un Cuatro criollo de buena calidad y las posiciones de los trastes a partir del puente. Luego, calcule con la ecuación anterior las posiciones de los trastes; compare con las medidas. Represente en una tira de papel milimetrado los trastes y observe si coincide con las posiciones del Cuatro usado.

2. En la Web se puede obtener varios software para afinar instrumentos. Uno de estos es Pitch Perfect Musical Instrument Tuner, de fácil manipulación. Con este paquete se puede afinar el Cuatro; hágalo. Luego pulse la primera cuerda y compruebe que su sonido corresponde a la nota La₃. Elija cualquier traste, presiónelo y pulse la cuerda. Mida con el software anterior su frecuencia e identifique la nota emitida; compruebe que, dentro del error experimental, coincide con el valor correspondiente de la tabla. Repita lo anterior con las otras cuerdas.

A continuación los invitamos a disfrutar de la magia musical del Maestro del Cuatro, Gustavo Colina, baluarte de la interpretación nacional y latinoamericana.

En este otro video los Hermanos Colinas, Gustavo e Israel, interpretan magistralmente "Esta agua va por mis venas", melodía de sus autorías en música y letra que se ha convertido en el Himno del Distrito Colón del estado Zulia, Venezuela. También hace gala en el mismo, el Insigne Poeta y Novelista Alexis Fernández de Santa Bárbara del Zulia.